Los números reales (denotados por el símbolo ℝ) constituyen el conjunto fundamental sobre el cual se construye gran parte del análisis matemático y se realizan mediciones en el mundo físico. Este vasto conjunto engloba tanto a los números racionales como a los números irracionales.

Los números racionales (ℚ) son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos enteros p/q, donde q es distinto de cero. Esto incluye a los números enteros (..., -2, -1, 0, 1, 2,...), las fracciones comunes (como 1/2, 3/4, -2/5) y los números decimales que son finitos (ej. 0.75) o periódicos (ej. 0.333... que es 1/3, o 0.142857142857... que es 1/7). Dentro de los racionales, encontramos subconjuntos importantes como los números naturales (ℕ = {1, 2, 3,...}), que son los enteros positivos utilizados para contar, y los números enteros (ℤ), que incluyen los naturales, sus opuestos negativos y el cero.

Por otro lado, los números irracionales (𝕀 o ℝ\ℚ) son aquellos que no pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Su representación decimal es infinita y no periódica. Ejemplos clásicos de números irracionales incluyen la raíz cuadrada de dos (√2 ≈ 1.41421356...), el número pi (π ≈ 3.14159265...), y el número de Euler (e ≈ 2.71828182...). La unión de los números racionales y los irracionales forma el conjunto completo de los números reales. Estos números pueden ser visualizados como puntos en una línea continua, conocida como la recta numérica, donde cada punto corresponde a un único número real y viceversa. Los números reales poseen propiedades de orden y completitud, esenciales para el cálculo y otras ramas de la matemática.

La proporcionalidad y los porcentajes son conceptos matemáticos fundamentales que encontramos constantemente en nuestra vida diaria y en diversas disciplinas. La proporcionalidad describe una relación entre dos magnitudes donde un cambio en una de ellas conlleva un cambio predecible y constante en la otra. Hablamos de proporcionalidad directa cuando, al aumentar una cantidad, la otra aumenta en la misma proporción (o si disminuye, la otra también disminuye proporcionalmente). Por ejemplo, si el precio por kilogramo de manzanas es constante, la cantidad total a pagar será directamente proporcional a la cantidad de kilogramos comprados. Por otro lado, la proporcionalidad inversa ocurre cuando el aumento de una magnitud provoca una disminución proporcional en la otra, y viceversa. Un ejemplo clásico es la relación entre la velocidad y el tiempo para recorrer una distancia fija: a mayor velocidad, menor será el tiempo empleado.

Los porcentajes son una forma particular de expresar una proporción, tomando como referencia el número 100. Un porcentaje es, esencialmente, una fracción con denominador 100. Se utilizan para representar partes de un todo, calcular descuentos, incrementos, tasas de interés, impuestos y muchas otras situaciones prácticas. Entender cómo calcular un porcentaje de una cantidad, cómo determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, o cómo aplicar aumentos y disminuciones porcentuales es crucial para la toma de decisiones financieras y la comprensión de datos estadísticos. La regla de tres, tanto simple como compuesta, es una herramienta muy útil para resolver problemas de proporcionalidad y, por extensión, de porcentajes. Dominar estos conceptos no solo facilita la resolución de problemas matemáticos, sino que también mejora nuestra capacidad para interpretar el mundo que nos rodea de manera más crítica y cuantitativa.

El álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que generaliza los conceptos de la aritmética mediante el uso de letras (variables) para representar números y cantidades desconocidas o variables. Su poder reside en la capacidad de modelar y resolver una amplia gama de problemas de manera abstracta y sistemática. Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, variables y operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potencias, raíces). Por ejemplo, 3x + 2y - 5 es una expresión algebraica. Estas expresiones pueden ser simplificadas, evaluadas (asignando valores a las variables) y manipuladas según reglas específicas.

Una ecuación algebraica establece una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Resolver una ecuación implica encontrar los valores de las variables (incógnitas) que hacen que la igualdad sea verdadera. Existen diversos tipos de ecuaciones, como las lineales (ej. 2x + 5 = 11), cuadráticas (ej. x² - 3x + 2 = 0), y sistemas de ecuaciones que involucran múltiples variables y ecuaciones simultáneamente.

Las desigualdades algebraicas, por otro lado, comparan dos expresiones utilizando símbolos como menor que (<), mayor que (>), menor o igual que (≤), o mayor o igual que (≥). Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores de las variables para los cuales la desigualdad se cumple, lo cual a menudo resulta en un intervalo de soluciones en lugar de un valor único. El álgebra es una herramienta esencial en ciencias, ingeniería, economía y muchas otras áreas, proporcionando el lenguaje para describir relaciones cuantitativas y resolver problemas complejos. Su estudio desarrolla el pensamiento lógico y la capacidad de abstracción.

Las funciones lineales son uno de los tipos de funciones más fundamentales y ampliamente utilizados en matemáticas y sus aplicaciones. Una función lineal describe una relación entre dos variables donde el cambio en una variable produce un cambio proporcional y constante en la otra. Gráficamente, una función lineal siempre se representa como una línea recta en el plano cartesiano.

La forma más común de expresar una función lineal es la ecuación explícita o pendiente-ordenada al origen: y = mx + b (o f(x) = mx + b). En esta ecuación, 'm' representa la pendiente de la recta y 'b' es la ordenada al origen. La pendiente 'm' indica la inclinación de la recta y la tasa de cambio de 'y' con respecto a 'x'; es decir, cuánto cambia 'y' por cada unidad que cambia 'x'. Si 'm' es positiva, la recta es creciente; si es negativa, es decreciente; y si 'm' es cero, la recta es horizontal (función constante). La ordenada al origen 'b' es el valor de 'y' cuando 'x' es cero, y representa el punto donde la recta corta el eje Y.

Un caso particular de función lineal es la función de proporcionalidad directa, donde b = 0, y la ecuación se simplifica a y = mx. En este caso, la recta siempre pasa por el origen de coordenadas (0,0). Las funciones lineales son esenciales para modelar situaciones del mundo real donde existe una relación constante de cambio, como el costo total en función de la cantidad de artículos comprados a un precio fijo, la distancia recorrida a velocidad constante en función del tiempo, o conversiones de unidades. Comprender sus propiedades y su representación gráfica es clave para el análisis matemático y la resolución de problemas prácticos.

Las funciones cuadráticas son un tipo de función polinómica de segundo grado, cuya forma general es f(x) = ax² + bx + c, donde 'a', 'b' y 'c' son coeficientes reales y 'a' debe ser distinto de cero. La gráfica de una función cuadrática es una curva simétrica llamada parábola. Estas funciones son fundamentales en matemáticas y tienen numerosas aplicaciones en física, ingeniería, economía y otras ciencias, por ejemplo, para modelar la trayectoria de un proyectil, el área de una figura geométrica en función de una de sus dimensiones, o los ingresos y costos en situaciones económicas.

El coeficiente 'a' determina la concavidad de la parábola: si 'a' > 0, la parábola se abre hacia arriba (cóncava hacia arriba) y tiene un punto mínimo; si 'a' < 0, la parábola se abre hacia abajo (cóncava hacia abajo) y tiene un punto máximo. Este punto extremo, ya sea mínimo o máximo, se llama vértice de la parábola. La coordenada x del vértice se puede encontrar con la fórmula x = -b / (2a), y la coordenada y se obtiene evaluando la función en este valor de x.

Otro elemento importante de las funciones cuadráticas son sus raíces o ceros, que son los valores de 'x' para los cuales f(x) = 0. Estos corresponden a los puntos donde la parábola intersecta el eje X. Las raíces se pueden calcular utilizando la fórmula cuadrática: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a). El término dentro de la raíz cuadrada, Δ = b² - 4ac, se llama discriminante. Si Δ > 0, la función tiene dos raíces reales distintas; si Δ = 0, tiene una raíz real doble (la parábola toca el eje X en un solo punto, el vértice); y si Δ < 0, no tiene raíces reales (la parábola no intersecta el eje X). El eje de simetría de la parábola es una línea vertical que pasa por el vértice, cuya ecuación es x = -b / (2a).

Las funciones exponenciales son una clase de funciones matemáticas de la forma general f(x) = a · bx, donde 'a' es el coeficiente que representa el valor inicial (y el intercepto en y cuando x=0, si no hay traslaciones), 'b' es la base (un número real positivo y distinto de 1), y 'x' es el exponente (la variable independiente). Estas funciones son cruciales para modelar fenómenos que experimentan un crecimiento o decaimiento que es proporcional a su valor actual, lo que significa que la tasa de cambio de la función es proporcional a la función misma.

Cuando la base b > 1, la función describe un crecimiento exponencial. A medida que 'x' aumenta, f(x) crece a una tasa cada vez más rápida. Ejemplos comunes incluyen el crecimiento de poblaciones en condiciones ideales, el interés compuesto en inversiones, o la propagación de ciertas enfermedades. La gráfica de una función de crecimiento exponencial es una curva ascendente que se vuelve progresivamente más empinada y nunca corta el eje x (si a > 0).

Por otro lado, cuando 0 < b < 1, la función describe un decaimiento exponencial. A medida que 'x' aumenta, f(x) disminuye, acercándose asintóticamente a cero (el eje x) pero sin llegar a alcanzarlo (a menos que a=0). Este tipo de función se utiliza para modelar la desintegración radiactiva de isótopos, la depreciación de activos con el tiempo, o la eliminación de fármacos del organismo. La gráfica es una curva descendente que se aplana a medida que se acerca al eje x. Un caso especial muy importante es la función exponencial natural, f(x) = ex, donde 'e' es el número de Euler (aproximadamente 2.71828). Esta base surge naturalmente en muchos contextos matemáticos y científicos. El dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de todos los números reales, mientras que su rango (para a > 0) es el conjunto de todos los números reales positivos.